这一章我们讲函数的极限。

主要研究两种情形：当自变量趋向于无穷大时，函数的极限；当自变量趋向于某个特定值时，函数的极限。

这一章你只需要牢记三个概念，函数，特定点，极限的值。

第一个问题：己知函数f(x)，特定点x0，极限值T，如何证明这个极限值T是真的。

这道题该怎么做呢？

首先写一个证明的证。

接下来，你只需要论证当自变量x无限趋向于x0时，函数值f（x）无限趋向于特定值T即可。

很显然，你不能说因为所以，显然如此。

你需要两个算式：大鱼小鱼，并且小鱼。

按照教科书的步骤，我们需要先引进两个无穷小的正数，爱仆茜龙（ε）和德尔塔（δ）。

你只需要想办法证明当自变量x与特定值x0的差的绝对值大于0，小于无穷小的正数德尔塔时，必定有f（x）与极限值T的差的绝对值小于无穷小的正数爱仆茜龙。

要实现这个大鱼小鱼，并且小鱼的两个算式，你只需要将题目中给出的初始算式变化几下就行了。

并且由于爱仆茜龙和德尔塔都是无穷小的正数，只要他们所处的右边的式子不太过分，他们两个在一定时刻可以相互转化。

比如1/2爱仆茜龙可以可以等于德尔塔。

第二个问题：己知函数f(x)，特定点x0，如何证明函数f（x）在特定点x0的极限不存在？

简单，想办法证明他在这个点不连续，即求出函数f（x）在这个点的左右极限是否存在且相等。

想象一下，函数 f(x) 就像是一个运动员在跑道上跑步。

x0 点就是准备测量运动员极限的教练。

如果运动员在教练这里的表现是平滑的、连续的，教练就可以清楚的知道运动员的极限在哪里。

即函数在 x0 点连续时，极限存在。

但是，如果运动员在即将到达极限时，前后表现不一致，比如说他突然跌倒或者是被大卡车撞飞，那么这就相当于左极限和右极限不相等，这意味着运动员的表现，即函数的极限是不确定的，我们不能说他在这个特定点上有一个明确的极限值。

可李华同学就要问了：“我看书上说，即使函数在特定点不存在，它也可以在这个特定点上求得极限。

这与你说的函数的连续性不是相悖吗？”

李华同学说的很对，但并不完全对。

打个比方，即使你是皇帝，只要你的左右齐心，蒙蔽圣听，欺上瞒下，祸乱朝纲，你作为皇帝本身什么是什么样子就并不重要了。

这种被左右架空，毫无建树，没有存在感的皇帝，我们称之为可去间断点。

比如说东汉末年的汉献帝。

即函数在该可去间断点无定义，但左极限和右极限都存在且相等。

而那种喜欢折腾，要么拉着文官集团打击太监，要么拉着太监打击文官集团，又或者谁都不靠，自己一个人上蹿下跳的皇帝，我们称之为跳跃间断点，比如说明朝晚期的万历皇帝和天启皇帝，他们俩的执政期内，东林党与宦官势力反复斗争。

即函数在该跳跃间断点有定义，但左极限和右极限存在且不相等，函数值在该点发生了突变。

这两种左中右都存在，但就是不齐心的特定点，我们统称为第1类间断点。

至于第2类间断点，到时候再说。

李华同学又要问了：“你不是说函数的极限要研究两种情形吗？

当自变量趋向于无穷大时函数的极限你还没讲呢。”

这个就没必要讲了，和特定点的极限进行类比就差不多了。

无非就是引入无穷大的正数大X和无穷小的正数爱仆茜龙，证明当自变量x＞无穷大的正数大X时。

函数f（x）与极限值T的差小于无穷小的正数爱仆茜龙就可以了。

讲完了怎样证明函数有极限和怎样证明函数的极限，我们接下来讲函数极限的性质。

只是我往教科书上一看，西大定理中有5条性质值得悟。